Curbură în Proiecțiile Hărților

Sursă Originală: http://www.physics.drexel.edu/~goldberg/projections/

Introducere

Cum luați o sferă și proiectați-o mai bine pe o suprafață plană, astfel încât să o puteți transporta pe o foaie de hârtie sau, mai bine, să o vizualizați pe monitor. Răspunsul cu siguranță depinde de ce doriți să utilizați harta dvs. Din punct de vedere istoric, oamenii au folosit indicatorul Tissot pentru a oferi îndrumare. Metoda este simplă: imaginați-vă pictarea de cercuri mici pe pământ (sau orice altă planetă – deasupra, proiectăm suprafața lui Jupiter) și proiectați suprafața pământului (și a cercurilor) pe hartă. Unele aplicații vor necesita ca toate cercurile să fie încă circulare (proiecții conformale). Unii vor cere ca toate cercurile să fie de aceeași arie. Nici o proiecție de hartă nu poate îndeplini ambele criterii.

J. Richard Gott și cu mine am vrut să facem această analiză un nou pas înainte. Ce se întâmplă când proiectați corpuri mari: de exemplu granița SUA-Canada, sau Australia, sau trupele lui Jupiter, pe o anumită proiecție de hartă? Sunt caracteristicile reproduse cu fidelitate? În acest scop, am introdus o măsură formală a flexiei și a neclarității unei hărți.

Acest lucru poate fi vizualizat pur și simplu prin intermediul Indicatorilor Goldberg-Gott . Alegeți un punct pe pământ și conduceți la nord de 12 grade (aproximativ 1300 de kilometri). Chiar dacă atingi polul nord, nu-ți întoarce volanul. Urmați un model geodezic. Faceți același lucru, dar vă îndreptați spre vest, spre est și spre sud. Din punctul tău de vedere, ai atras un semn mare plus pe teren. Atunci când este proiectat pe o hartă, această indicatoare arată imediat curbura proiecției. Mai mult, dacă conectați punctele și închideți indicatorul, veți obține o elipsă – elipsa Tissot.

Rich și cu mine am evaluat aproximativ 20 de proiecții diferite și le-am măsurat în ceea ce privește conservarea zonelor, elipticitatea Tissotului, flexia (îndoirea geodeziei), șuierarea (rata de schimbare a vitezei pe o hartă), tăieturile de frontieră și întreruperile aleatoare. În ansamblu, am constatat că cele mai bune două proiecții generale sunt (respectiv), Winkel-Tripel (stânga) și Kavrayskiy VII (dreapta). Vezi dacă sunteți de acord cu evaluarea noastră numerică.

În timp ce sunteți la el, opriți-vă de pagina de pornire a lui Wes Colley . El a lucrat de asemenea cu Rich pe proiecțiile hărților și a fost suficient de bun pentru a oferi software-ul de reproiectare a hărții. Puteți obține, de asemenea, o hârtie de către Gott, Mugnolo și Colley cu privire la măsurile de distanțe optime ale hărților aici .

Acum, pentru fiecare, aruncăm o privire la indicațiile “Goldberg-Gott”:

Dar cea mai bună hartă globală nu este neapărat cea mai bună pentru fiecare scop. De exemplu, Kavrayskiy VII are proprietatea frumos că liniile de longitudine sunt orizontale. Deci, pentru o proiecție, de exemplu, Jupiter, găsim:

Pentru mai multe aplicații (cum ar fi CMB, Structura pe scară largă etc.), sunt necesare hărți din toate cerurile. Din moment ce orice altceva decât o proiecție de conservare a zonei ar distorsiona gros structura și, prin urmare, ar trebui să fie imediat discontată, ar trebui folosite numai acelea. Dar care dintre ele? Echipa WMAP , de exemplu, a folosit proiecția Mollweide . Cu toate acestea, vom arăta că cea mai bună zonă de conservare a zonei este proiecția Eckert IV . Acesta bate Hammer (Aitoff) pe forme cu margine mare (efectul cel mai remarcabil în acest caz), leagă-l pe flexiune și abia pierde pe distanțe. Cu toate acestea, pe ciocan, ciocanul câștigă cu o marjă echitabilă.

.

Decide pentru tine. Wes Colley a pregătit o proiecție Eckert IV a rezultatelor celui de-al treilea an WMAP:

Eckert IV
Mollweide

Codul nostru

În timp ce ar trebui să vă simțiți liber să examinați rezultatele noastre și să vă uitați la hărțile noastre în pretipăria noastră , vă recomandăm să vă uitați la aceste lucruri. Prin urmare, facem codul nostru IDL disponibil tuturor celor care îl doresc.

Există două programe principale

  1. map_flexion.pro , care creează o proiecție cu indicatoarele Goldberg-Gott. Procedura de apelare este: 
    map_flexion, proiecție (șir), [outfile = nume fișier] 
    Argumentul opțional outfile creează un fișier postscript, mai degrabă decât imprimarea pe ecran. Există, de asemenea, argumente opționale care pot specifica intervalul de latitudini și longitudini care urmează să fie reprezentate. O listă de proiecții disponibile poate fi găsită în deproject.pro . Dacă doriți să adăugați o proiecție la oricare dintre programe, pur și simplu utilizați proiecțiile existente ca șablon.
  2. map_random.pro , care aruncă puncte aleatorii pe glob și calculează statisticile găsite în hârtia Goldberg & Gott . Procedura de apelare este: 
    map_random, proiectie [, npts = npts] [, latmax = latmax] [, latmin = latmin] 
    În mod implicit, vom folosi 30000 de puncte și vom selecta puncte aleatoriu pe tot globul.

Cine suntem noi?

De altfel, Rich a proiectat o foarte frumoasă hartă Conformă a universului . Ar trebui să verificați!

Rogues Gallery

Scorurile de calitate

În lucrarea noastră, se măsoară un număr de calități diferite pentru hărți: Cât de bine se păstrează suprafața (A), cât de mult este distorsiunea elipticității (E), cât de flexie (F) și șiretură (S) există, erorile de distanță (D) și câte limite va fi separată de o pereche de puncte selectate aleator pe glob.

În fiecare caz, am făcut măsurile noastre uniforme pe glob. Metricile specifice sunt discutate în lucrarea noastră.

proiectareEAFSDB
Proiecții fără întreruperi
Azimutal echidistant0,870,601.00,570.3560
Gott-Mugnolo1.20,201.00,590.3410
Lambert Azimuthal1.401.02.10.3430
stereographic02.01.01.00.7140
1 180 grade. Limită tăiată
Breisemeister0,7900,810,420,3720,25
Eckert IV0,7000,750,550.3900,25
Eckert VI0,7300,820,610.3850,25
Equirectangular0.510.410.640,600,4490,25
Gall-Peters0,8200,760.690.3900,25
Gall Stereographic0,280,540.670,520,4200,25
Gott Elliptical0,8600,850.440.3650,25
Gott-Mugnolo Elliptic0,9000,820,430.3480,25
Ciocan0,8100,820,460.3880,25
Kavrayskiy VII0,450,310.690.410.4050,25
Lagrange00,730.530.530.4320,25
Lambert Conic01.00.670.670.4600,25
Mercator00,840.640.640.4400,25
morar0,250,610.620,600,4390,25
Mollweide0,7600,810,540.3900,25
Polyconic0,790,490.920.440,3640,25
sinusoidale0,9400,840,680.4070,25
Winkel Tripel0,490,220,740,340.3740,25
Winkel-Tripel (Times)0,480,240,710,3730,390,25