Interpolarea Tropicală

Sursă originală: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html

Frank Sottile
9 Octombrie 2004, Colegiul Station, Texas.

   Articolul pentru emisiunea din toamna anului 2004 a emisarului , buletinul informativ al MSRI. ArXiv.org/math/0501146 .


    Toată lumea știe că două puncte determină o linie și mulți oameni care au studiat geometria știu că cinci puncte din plan determină o conică. În general, dacă aveți m puncte aleatorii în plan și doriți să treceți o curbă rațională a gradului d prin toate, este posibil să nu existe nici o soluție la această problemă de interpolare (dacă m este prea mare) sau un număr infinit de soluții (dacă m este prea mic) sau un număr finit de soluții (dacă m este just). Se pare că ” m just right” înseamnă m = 3 d -1 ( m = 2 pentru linii și m = 5 pentru conic).

    O întrebare mai grea este, dacă m = 3 d -1, câte curbe raționale de grad d interpolează punctele? Să numim acest număr d , astfel încât 1 = 1 și 2 = 1 deoarece linia și conicul paragrafului anterior sunt unice. Acesta a fost mult timp cunoscut faptul că 3 = 12, iar în 1873 Zeuthen [ Ze ] a arătat că 4 = 620. Asta a fost în cazul în care problemele au stat până la aproximativ zece ani în urmă, când Kontsevich și Manin [ KM ] au folosit asociativitatea în cohomologia cuantică pentru a oferi o recurență elegantă pentru acest număr.

    Temele de cercetare din semestrul MSRI Winter 2004 asupra aspectelor topologice ale geometriei algebrice reale au inclus geometria geometrică alumbrică reală, geometria tropicală, curbele plane reale și aplicațiile geometriei reale algebrice. Toate sunt țesute împreună în povestea de desfășurare a acestei probleme de interpolare, o problemă prototype a geometriei enumeratoare , care este arta de a număra figuri geometrice determinate de condițiile de incidență date. Iată o altă problemă: câte linii în spațiu se întâlnesc cu patru linii date? Pentru a răspunde la acest lucru, rețineți că trei linii se află pe un hiperboloid unic dublu-condus.

Cele trei rânduri se află într-o singură hotărâre, iar a doua hotărâre constă în liniile care respectă cele trei linii date. Deoarece hiperboloidul este definit de o ecuație patratică, o a patra linie o va întâlni în două puncte. Prin fiecare dintre aceste două puncte există o linie în cea de-a doua hotărâre, și acestea sunt cele două linii care corespund celor patru linii date.

    Enumerarea geometrică funcționează cel mai bine asupra numerelor complexe , deoarece numărul de cifre reale depinde destul de subtil de configurația cifrelor care dau condițiile de incidență. De exemplu, a patra linie poate întâlni hiperboloidul în două puncte reale sau în două puncte de conjugare complexe, astfel încât există două linii reale sau nu există reuniuni care să corespundă tuturor celor patru. Pe baza numeroaselor exemple, am ajuns să ne așteptăm ca orice problemă enumerativă să aibă toate soluțiile sale reale [ Deci ].

    O altă problemă este cea a celor 12 curbe raționale care interpolează 8 puncte în plan. Cei mai mulți matematicieni sunt familiarizați cu cubul nodal (rațional) prezentat în stânga de mai jos. Există un alt tip de cubic rațional real, prezentat în partea dreaptă.

În cea de-a doua curbă, două segmente complexe de conjugate se întâlnesc în punctul izolat. Dacă lăsăm N ( t ) numărul curbelor reale de tipul t interpolând 8 puncte, atunci Kharlamov și Degtyarev [ DK ] au arătat căN ( 

) –   N ( 

) = 8.Iată o descriere a metodelor lor topologice elementare.

    Deoarece există cel mult 12 astfel de curbe, N ( ) + N ( ) \ leq 12, deci există 8, 10 sau 12 cubice raționale reale interpolând 8 puncte reale în plan, în funcție de numărul (0, 1, sau 2) de cubici cu un punct izolat. Astfel, vor exista 12 cubi raționali reali interpolând orice 8 din cele 9 puncte de intersecție dintre cele două cuburi de mai jos.

    Welschinger [ W ], care a fost un postdoc MSRI ultima iarnă, a dezvoltat acest exemplu într-o teorie. În general, singularitățile unei curbe plane C raționale sunt noduri sau puncte izolate. Paritatea numărului de noduri este semnul său s ( C ), care este fie 1, fie -1. Având în vedere 3 d- 1 puncte reale în plan, Welschinger a considerat valoarea absolută a cantității

s ( C ),

suma peste toate curbele raționale reale C ale gradului d care interpolează punctele. El a arătat că această sumă ponderată nu depinde de alegerea punctelor. Scrieți d pentru acest invariant al lui Welschinger. De exemplu, am văzut doar că 3 = 8.

    Acesta a fost un progres, deoarece d a fost (aproape) primul invariabil cu adevărat netrivial în geometria enumerativă reală algebrică. Rețineți că d este o limită inferioară pentru numărul de curbe raționale reale prin 3 d -1 puncte reale în plan și d \ leq d . 

    Mikhalkin, care a fost un organizator al semestrului, cu condiția ca cheia de calcul d folosind geometria algebrică tropical [ Mi ]. Aceasta este geometria semiremorcii tropicale, unde operațiunile de maxim și + cu numere reale înlocuiesc operațiunile obișnuite de + și de înmulțire. Un polinom tropical este o funcție liniară liniară a formeiT ( x , y ) = max i , j ) { i  +  j  +  i , j },în cazul în care calculul este cu operațiile aritmetice obișnuite , iar maximul este preluat un subset finit de 2 din exponenții T și i , j sunt numere reale coeficienții T . Un polinom tropical T definește o curbă tropicală, care este setul de puncte ( x , y ) unde T ( x , y ) nu este diferențiat. Iată câteva curbe tropicale.

Gradul unei curbe tropicale este numărul de raze care tinde spre infinit în oricare dintre cele trei direcții de Vest, Sud sau Nord-Est. O curbă tropicală este rațională dacă este o scufundare liniară în bucăți a unui copac. Nodurile au valență 4.

    Mikhalkin a arătat că există doar numeroase curbe raționale tropicale de gradul d interpolând 3 d- 1 puncte generice. În timp ce numărul acestor curbe depinde de alegerea punctelor, Mikhalkin a atașat multiplicitățile pozitive la fiecare curbă tropicală astfel încât suma ponderată să nu fie și este de fapt egală cu d . El a redus, de asemenea, aceste multiplicități și enumerarea curbelor tropicale la combinatorica căilor de zăbrele într-un triunghi de lungime laterală d .

    Mikhalkin a folosit o corespondență care implică jurnalul hărții: ( * ) 2 -> 2 definit de ( x , y ) | -> (log | x |, log | y |) și o anumită ” a structurii complexe pe ( * ) 2 . Sub această limită complexă mare, curbele raționale de gradul d interpolând 3 d -1 puncte în ( * ) 2 se deformează la “curbele complexe tropicale”, ale căror imagini sub Log sunt curbele obișnuite tropicale interpolând imaginile punctelor. Multitudinea unei curbe tropicaleT este numărul de curbe tropicale complexe , care proiect T .

    Dar curbele reale? În urma acestei corespondențe, Mikhalkin a atașat o multiplicitate reală fiecărei curbe tropicale și a arătat că dacă curbele tropicale care interpolează un anumit număr de puncte 3 d -1 au multiplicitatea reală totală N , atunci există 3 d -1 puncte reale care sunt interpolate de N real curbe de grad d . Această multitudine reală este din nou exprimată în termeni de căi de zăbrele.

    Cum rămâne cu inversatorul lui Welschinger? În același mod, Mikhalkin a atașat o greutate semnalizată fiecărei curbe tropicale (o versiune tropicală a semnului Welschinger) și a arătat că suma ponderată corespunzătoare este egală cu invariabilul lui Welschinger. Ca și înainte, această greutate semnată tropicală poate fi exprimată în termeni de căi de zăbrele.

    În timpul semestrului la MSRI, Itenberg, Kharlamov și Shustin [ IKS ] au folosit rezultatele lui Mikhalkin pentru a estima invariabilul lui Welschinger. Ei au arătat că d \ geq d ! / 3, și , de asemenealog d  = log d  +  O ( d ), log d  = 3 d log d + O ( d ).Astfel, cel puțin logaritmic, cele mai multe curbe raționale ale gradului d interpolând 3 d -1 puncte reale în plan sunt reale.

    Există două alte cazuri ale acestui fenomen de limite inferioare, dintre care primul precede lucrarea lui Welschinger. Presupunem că d este egal și lăsați W ( s ) să fie un polinom real de grad k ( d – k +1). Apoi Eremenko și Gabrielov [ EG ] au arătat că există polinoame reale 1 ( s ), …, k ( s ) de grad d ale căror determinant Wronski este W ( s ). De fapt, s-au dovedit a fi o limită inferioară pentru numărul de k-plusuri de polinoame, până la o echivalență. În mod similar, în timp ce la MSRI, Soprunova și I [ SS ] studiau sisteme polinomiale rare, asociate posets, arătând că numărul de soluții reale este limitat mai jos de semnul dezechilibru al posetului. Astfel de limite inferioare problemelor enumerative, care implică existența unor soluții reale, sunt importante pentru aplicații.

    De exemplu, această povestire a fost relatată peste bere într-o seară la atelierul MSRI privind modelarea geometrică și geometria algebrică reală în aprilie 2004. Un participant, Schicho, a realizat că rezultatul 3 = 8 pentru cubi a explicat de ce o metodă pe care o dezvoltă a munci. Acesta a fost un algoritm pentru a calcula o parametrizare aproximativă a unui arc al unei curbe, printr-o reală rațională cubică interpolând 8 puncte pe arc. A rămas să găsească condiții care să garanteze existența unei soluții apropiate de arc. Acest lucru a fost rezolvat doar de Fiedler-Le Touzé, un postdoc MSRI care a studiat cubi (nu neapărat raționali) interpolând 8 puncte pentru a ajuta la clasificarea curbelor reale ale planetei de gradul 9.


Bibliografie

[DK]A. I. Degtyarev și V. M. Kharlamov, Proprietăți topologice ale soiurilor algebrice reale: calea lui Rokhlin , Uspekhi Mat. Nauk 55 (2000), nr. 4 (334), 129-212.
[DE EXEMPLU]A. Eremenko și A. Gabrielov, Grade ale hărților reale Wronski , Discrete Comput. Geom. 28 (2002), nr. 3, 331–347.
[HY]I. Itenberg, V. Kharlamov și E. Shustin, Echivalența logaritmică a invarianților Welschinger și Gromov-Witten , arXiv: math.AG/0407188 .
[KM]M. Kontsevich și Yu. Clasele Manin, Gromov-Witten, coomologia cuantică și geometria enumerativă , Comm. Math. Phys. 164 (1994), nr. 3, 525-562.
[Meu]G. Mikhalkin, Geometria tropicală algebrică enumerativă în 2 , arXiv: math.AG/0312530 .
[SS]E. Soprunova și F. Sottile, Limite inferioare pentru soluții reale pentru sisteme polinomiale rare , arXiv: math.AG/0409504 .
[Asa de]F. Sottile, Geometria reală algebrică enumerativă , Geometria reală algebrică și algoritmică și cantitativă (Piscataway, NJ, 2001), DIMACS Ser. Discreție matematică.Theoret. Comput. Sci., Voi. 60, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 139-179.
[W]-Y Welschinger, invarianți ai adevărați rasiale 4-manifolds simplectice și limite inferioare în geometria reală enumerativă, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 336 (2003), nr. 4, 341–344.
[I]H. G. Zeuthen, Proprietățile comune ale sistemelor de coșuri plate , Scrierile daneze ale Societății Științifice, Departamentele științifice și matematice. 10 Bd. IV (1873), 286-393.

Îi mulțumim mulțumitor editorului nostru Silvio Levy și membrilor MSRI a căror activitate o descriem.


Sprijinit de Fundația Națională de Științe acordă CAREER DMS-0134860 ​​și DMS-9810361 (finanțarea MSRI) și Institutul Matematic de Clay.