Math Club Interviu cu Profesorul Curtis McMullen

Sursă originală: http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html

de Anne-Marie Oreskovich și Dmitri Sagalovskiy


Ultimul semestru, clubul de matematică a avut privilegiul de a intervieva profesorul Harvard și recentul medalist Fields Curtis McMullen. În timpul interviului de o oră, profesorul McMullen a discutat despre trecutul său, despre cercetările sale, despre experiențele sale la diferite universități din întreaga țară și despre medalia Fields. Clubul de matematică ar dori să-i mulțumească profesorului McMullen pentru că ne-a făcut timp să ne lăsăm să-l cunoaștem mai bine. Pentru a afla mai multe despre profesorul McMullen, consultați pagina sa web lahttp://math.harvard.edu/~ctm


I: De cât timp ați fost la Harvard?

M: Un an și jumătate, dacă nu îmi numărați studenții.

Î: Deci ați fost absolvent aici?

M: Corect.

I: Unde erai student?

M: Am fost la Colegiul Williams din Massachusetts, apoi am petrecut un an în Cambridge, Anglia.

Î: De unde vă aflați?

M: E o întrebare greu de răspuns. Am crescut de fapt în Charlotte, Vermont, dar m-am născut de fapt în Berkeley, California. Ne-am mutat puțin, dar cred că sunt din Vermont.

Î: Deci, puteți să ne spuneți ceva despre medalie?

M: Cred că a început în anii 1930. A fost stabilită de un câmp canadian, și știu că lui Ahlfors și Douglas i s-au dat primele două. Este dată la fiecare patru ani la ICM, iar în ultimii ani îi dăruiesc trei sau patru persoane. Așadar, să vedem cine a mai primit-o anul ăsta? Kontsevich, Gowers și Borcherds. De fapt, toți, cu excepția lui Gowers, au petrecut timp în Berkeley, unde am fost în ultimii șapte ani înainte să vin aici. Deci, am cunoscut atât pe Borcherds, cât și pe Kontsevich din Berkeley.

I: Unde erai când ai aflat?

M: Am fost aici. Veți afla câteva luni în avans și ar trebui păstrate în secret până în ziua actuală a ceremoniei. De fapt, nu i-am spus nimănui, ceea ce era destul de dificil, pentru că au existat zvonuri care circulau și aș fi trebuit să le refuz.

Î: Puteți să ne spuneți puțin despre ce ați făcut cercetările dvs. care v-au dat medalia?

M: Lasă-mă să încep cu direcția cercetării mele. În primul rând, am scris teza mea la Harvard, dar nu am lucrat cu un profesor de la Harvard. Am făcut o lucrare de computere cu David Mumford pe grupurile Kleinian înainte de a absolvi și m-am interesat de acest subiect. Dar am ajuns să scriu teza mea cu Dennis Sullivan, care la acea vreme era profesor la Universitatea din New York și IHES la Franța. Așadar, am fost foarte norocos că Mumford mi-a prezentat-o ​​în ultimul an al carierei mele de absolvent, moment în care nu aveam nici un consilier și nici un subiect de teză. Am mers în Franța și am lucrat împreună cu Sullivan la IHES pentru un semestru și l-am întâlnit pe Steve Smale, care mi-a dat această problemă de teză frumoasă cu privire la rezolvarea ecuațiilor polinomiale prin iterație.

Probabil ați auzit de metoda lui Newton pentru rezolvarea polinomilor. Dacă aplicați metoda lui Newton pentru un polinom cubic, este posibil să nu funcționeze. S-ar putea să fiți blocați sub un minim local. Și dacă schimbați ghicița inițială un pic, s-ar putea să nu se convertească la o rădăcină. Deci metoda lui Newton nu este fiabilă pentru rezolvarea ecuațiilor polinomiale. Problema la care am lucrat a fost dacă există sau nu un algoritm ca metoda lui Newton, care implică iterația unei singure funcții raționale, care poate rezolva în mod eficace ecuațiile polinomiale. Am reusit sa dovedesc ca raspunsul nu este de gradul 4 sau mai mult si de fapt am gasit un algoritm nou pentru rezolvarea cubilor, ceea ce este de incredere.

Apoi m-am dus la MSRI și am fost la MIT pentru un semestru, apoi la Princeton timp de patru ani. Peter Doyle și cu mine am lucrat la Princeton pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul cinci și am găsit acest algoritm frumos neașteptat pentru rezolvarea polinomilor quinți. Dar nu este contrazis de teza mea deoarece este un turn de iterații; adică, să repetați o funcție rațională, să luați lucrul la care converge și să conectați acest lucru la altul.

După cum probabil știți, rezolvarea chinticului este legată de grupul Galois A 5 și de faptul că A 5 este un grup simplu. Acest lucru a fost folosit de Galois pentru a dovedi că nu puteți rezolva ecuația chintică de radicali.

Se pare că pentru a putea rezolva o ecuație utilizând o hartă rațională iterativă, trebuie să găsiți o hartă rațională a cărei grupă de simetrie este grupul Galois al polinomului. Acum există doar un mic set de grupuri care pot fi grupuri de simetrie în sfera Riemann, iar cele interesante provin din solidele Platonice. Deci A 5 , grupul de simetrie al dodecaedrului, este cel mai complicat pe care îl puteți obține. Am folosit această hartă rațională cu simetrie A 5 pentru a da un algoritm nou pentru rezolvarea eficace chintic în mod fiabil. Și, în același fel, de la S 6sau A 6nu funcționează pe sfera Riemann, nu există un algoritm similar pentru a rezolva ecuații de gradul 6 sau mai mult. Așa a fost prima mea zonă de cercetare: rezolvarea polinoamelor și dinamica hărților raționale. Legătură

Acum, următorul lucru la care lucram când eram la Princeton era teoria lui Thurston despre hiperbolicele 3-varietăți. Thurston are un program de cercetare, care a avut un mare succes, pentru a încerca să găsească o geometrie canonică pentru obiectele tridimensionale. De exemplu, dacă vă imaginați că aveți o varietate, care este în mod secret o sferă, dacă ați putea cumva găsi o metrică rotundă pe ea, atunci o veți recunoaște dintr-o dată ca pe cea de-a 3-a sferă. Deci, dacă găsiți o metrică care dă varietății o formă bună, atunci puteți recunoaște ce este varietatea. Se pare că majoritatea varietăților tridimensionale recunosc aceste valori, dar valorile nu sunt curbe pozitive ca cea a celei de-a treia sfere, ele sunt curbate negativ. De exemplu, dacă luați în afara unui nod în S 3, un complement de noduri, atunci aproape întotdeauna admite una dintre aceste metrice hiperbolice de curbură negativă constantă. Din acest motiv, există programe de calculator, unde puteți trage un nod la întâmplare cu mouse-ul și faceți clic și în decurs de una sau două secunde vă va spune exact ce este nodul. Și dacă îi dai două noduri, ea va recunoaște imediat dacă sunt sau nu aceleași noduri. Acest lucru este uimitor deoarece problema clasificării nodurilor a fost extrem de dificil de rezolvat în mod clasic.

În timp ce la Princeton am găsit o nouă dovadă analitică a teoriei lui Thurston care oferă structuri hiperbolice pe multe 3 varietăți, inclusiv cele mai multe noduri complementare. Această nouă dovadă are legătură cu seria Poincaré, un subiect clasic în analiză complexă și conduce, de asemenea, la soluționarea conjecturilor lui Kra și Bers. Mai târziu, la Berkeley, am început să văd paralele între teoria celor trei-varietăți care fibră deasupra cercului; acest subiect este elaborat în 2 cărți care au apărut în “Annals of Math Studies” de la Princeton. Medalia Fields a fost, cred eu, ca o recunoaștere a acestor proiecte.

Așa că am lucrat la dinamica hărților raționale și am lucrat la trei varietăți hiperbolice și am lucrat pe suprafețele Riemann per se și am lucrat și pe topologia suprafețelor și nodurilor. Iar lucrul pe care aș dori să-l subliniez este că pentru mine toate aceste domenii sunt într-adevăr același domeniu. Începeți foarte ușor să lucrați la o problemă dinamică și găsiți-vă câteva luni mai târziu să lucrați la o problemă în teoria nodurilor sau în topologia nodurilor, deoarece acestea sunt foarte interconectate – noduri, analize complexe, polinoame, suprafețe Riemann, hiperbolice 3-manifolds , etc. Nu există un nume pentru acest domeniu, dar acesta este domeniul în care lucrez.

Î: Deci ați fost, probabil, cele patru cele mai bune școli din America pentru matematică: Princeton, Berkeley, MIT și Harvard. Puteți să le comparați și să le contrastați în ceea ce privește atmosfera, prietenia, ritmul la care oamenii lucrează etc., pentru studenții care gândesc să meargă la școala absolventă?

M: Sunt cu adevărat diferite. Permiteți-mi să renunț la MIT, pentru că am petrecut doar un semestru acolo. Princeton este un departament teribil, dar orașul este un pic cam înfundat și plictisitor pentru o persoană tânără. Are cea mai mare densitate de oameni din “Cine este Cine” și este foarte cultivat. Nu se întâmplă nimic neașteptat. Deci nu mi se pare foarte plin de viață. Dar nu eram acolo ca un student absolvent. Princeton este un loc minunat pentru a merge la dacă știți că nu veți fi acolo pentru totdeauna. Mă uit înapoi foarte atent la anii mei de la Princeton.

Princeton și Harvard le tratează foarte bine studenții absolvenți. Există un raport bun între numărul de elevi per facultate. Elevii sunt bine finanțați, departamentele sunt suficient de mici încât elevii să beneficieze de o atenție deosebită. Și cred că elevii învață mult unul de celălalt în ambele locuri. Aceasta este o componentă importantă a educației postuniversitare.

Berkeley este, de asemenea, minunat. Este un loc care are un departament uriaș, o sută de facultate dacă numărați emereti. Mi-a plăcut cu adevărat, dar este nevoie de multă energie pentru a găsi un loc bun de trăit, a găsi un bun sfătuitor și de a intra în nișa potrivită, matematic și așa mai departe. Dar pe măsură ce faceți asta, vă plătește foarte mult. Și vremea este frumoasă. Puteți să mergeți din campus în Canyon de Căpșuni, apoi în Parcul Tilden și să fiți complet în afara omenirii în 40 de minute. (La Harvard, pe de altă parte, am găsit că aș putea să merg la bicicletă timp de o oră și să fiu încă în suburbiile …) În Berkeley piscinele sunt în aer liber, sunt foarte pline de viață și sunt, de asemenea, foarte tolerante – la tot felul de stil de viață diferit, diferite tipuri de persoane. Simți un sentiment de libertate. Nu vă simțiți capabili să încercați o idee nouă, și să nu vă îngrijorați atât de mult dacă va funcționa sau nu. Unul dintre marile lucruri despre Berkeley este că există atât de mulți studenți absolvenți și atât de multe postdocs în zonă, mai ales cu MSRI, că puteți avea un grup de lucru pe orice subiect matematic pe care să vă puteți gândi. Există o mulțime de interes matematic acolo.

Chiar mi-a plăcut să fiu student la Harvard. Cambridge și Berkeley au ambele avantaje față de Princeton, în sensul că sunt comunități tinere, se întâmplă multe lucruri, sunt aproape de un oraș important. Puteți spune puțin din experiența mea absolventă că, deși cred că Harvard este cu adevărat minunat, faptul că facultatea lui este mică ar putea face dificilă găsirea unui consilier care se află în zona în care doriți să lucrați. Și cred că cheia reală a succesului în școala absolventă constă în găsirea unui lucru care vă interesează suficient pentru a vă menține timp de patru sau cinci ani.

Î: De ce ați ales să vină la Harvard de la Berkeley?

M: Am venit pentru prima oară ca vizitator. Și mi-a fost foarte plăcut să învăț aici. La Berkeley, cursurile pentru studenți sunt adesea foarte mari și a fost foarte răsplătit pentru a avea acești studenți foarte buni într-o clasă mică. Și mi-a plăcut foarte mult faptul că departamentul este destul de mic încât este ușor să cunoști și alți membri ai facultății. Și, bineînțeles, de când eram un student absolvent aici, m-am uitat întotdeauna la Harvard ca fiind acest loc minunat. De fapt, mi-a fost greu să îmi imaginez că am fost profesor aici, așa că am vrut să descopăr cum ar fi. Îmi place faptul că domeniile mele de interes sunt diferite, dar se suprapun cu cele ale altor persoane din departament. Sunt foarte interesat de multe lucruri pe care alții le fac aici. Deci, pentru mine, într-un fel, îmi permite să-mi continuu educația.

Î: Dar acest lucru nu vă diminuează oportunitățile de colaborare cu alți membri ai facultății?

M: În primul rând călătoresc destul de mult, așa că văd oamenii care se află în câmpul meu în Franța, în Stonybrook sau în altă parte. Cu toate acestea, majoritatea cercetărilor se fac pe cont propriu; Fac cea mai bună cercetare de unul singur. Este foarte util să fie capabil să conducă un argument de către un expert în domeniu, dar nu-mi dau cu adevărat dor de cineva care este exact în domeniul meu să colaboreze cu. Trebuie să recunosc că a fost o decizie dificilă de a veni aici. Mi-e dor de viață în Berkeley și pot petrece acolo o ședere.

Î: Vă vedeți ca un matematician renascentist în sensul că lucrarea dvs. cuprinde o mare varietate de domenii matematice?

M (râzând): Nu, mă văd mai mult ca un diletant, cineva care se ocupă de multe domenii diferite și este interesat de multe lucruri diferite; Eu cu siguranță nu aș spune un matematician renascentist. Acum, mă bucur foarte mult de multe feluri de matematică și îmi place să lucrez la ceva ce nu sunt expert în învățarea acestui subiect. Acest câmp pe care l-am descriut este cu adevărat minunat în acest fel, pentru că este atât de larg încât face contact cu multe tipuri diferite de matematică. Când am venit la Harvard, am constatat că pentru o mulțime de teorie (cum ar fi teoria lui Hodge despre varietăți complexe etc.) nu prea înțelegeam și nu am fost foarte motivați să o studiez. Așa că am început cu un subiect pe care aș putea să-l învăț foarte bine: o variabilă reală.

Am făcut un curs real de analiză când eram licențiat; M-am dus la Stanford timp de un an și am făcut un adevărat curs de analiză reală de la Benjamin Weiss, profesor de la Ierusalim. Și asta ma făcut foarte entuziasmat de analiză. Apoi m-am întors la Williams și am lucrat îndeaproape cu Bill Oliver. Era foarte influent în educația mea matematică; a fost de la el că am învățat prima dată această idee de a folosi dicționarele în matematică pentru a folosi ca un fel de analogie între diferite domenii sau diferite dezvoltări teoretice pentru a încerca să-mi ghidez munca. Așa au fost influențele mele timpurii.

Când am venit la Harvard și am fost un fel de turnare. Știam cum să programez programul de calculator – lucram în vara la IBM-Watson în Yorktown Heights – și Mandelbrot și Mumford aproape că colaboraseră; Mandelbrot furnizează acces la computerele de la Yorktown Heights la Mumford, care desena aceste imagini frumoase de seturi limită de grupări Kleinian. Ca cineva care era familiarizat cu lumea calculatoarelor de la Yorktown, am început să lucrez pentru el ca programator de calculator, ajutându-l să deseneze aceste imagini și așa mai departe. Trebuie să vă imaginați că, în acele zile, a trebuit să efectuăm un apel de modem pe distanțe lungi și apoi să lucrăm la programe de scriere de 30 de caractere pe secundă în FORTRAN. Apoi, am face o fotografie și ar trebui să așteptăm o săptămână pentru ca ei să ne trimită o scrisoare de la Yorktown pentru a vedea dacă a ieșit bine.

Apoi m-am interesat de dimensiunea lui Hausdorff, și de când știam o analiză reală, am încercat să lucrez la asta. Prima mea lucrare a fost despre o problemă pe care am învățat-o când am întâlnit-o pe profesorul Hironaka, profesor la Harvard, deși era în concediu în Japonia. Când sa întors prima oară din Japonia, mi-a spus această întrebare pe care nu a reușit să o rezolve, care era de a calcula dimensiunea fractală a unui anumit set. Acest set se obține prin trasarea literei “M” și repetarea aceleiași figuri, așa cum se arată aici .

În final, veți obține un set cu nu este auto-similar, dar este auto-afine. Fractalele, ale căror dimensiuni sunt ușor de calculat, au proprietatea că, dacă luați o bucată mică și re-dimensionați-o cu același factor în ambele dimensiuni, aceasta arată ca o piesă mai mare. Aceasta are proprietatea că un decalaj foarte mic poate fi redus la marginea mare, dar trebuie să scalați cu o putere de două într-o direcție și cu o putere de trei în cealaltă; din cauza că dimensiunea este dificil să se calculeze. În prima mea lucrare de cercetare am calculat dimensiunea ei: D = log 2(1 + 2 log 3 2 ). A fost o minunată problemă; Am lucrat foarte mult la asta. Puteți vedea că mi-a plăcut să stau aproape de terenul de matematică pe care l-am înțeles.

Apoi am început să mă interesează mai mult dinamica complexă, așa că m-am dus la o variabilă complexă dintr-o variabilă reală; Întotdeauna am rămas aproape de lucruri pe care aș putea să le înțeleg. Deci, acum, la doisprezece ani după doctorul meu, scriu în cele din urmă o lucrare care are legătură cu geometria lui Kähler; și cu siguranță nu m-am simțit confortabil cu valorile lui Kähler când eram în școală. A trebuit să lucrez nu numai la subiecte, ci și să văd o motivație internă pentru a ajunge la ele, mai degrabă decât să le punem în jos într-un “bine, asta este ceea ce vom învăța următorul” -manner.

Î: Care a fost “analogia dicționarului” despre care ați vorbit?

M: Cea mai mare influență matematică a fost consilierul meu de teză, Dennis Sullivan. Nu numai că era consilierul meu de teză, dar când era încă la IHES în Franța, am petrecut câteva luni împreună în fiecare vară acolo și m-aș duce la seminarul său din New York sau Princeton. E profesor în Stony Brook, NY acum și încerc să vizitez o dată pe an.

Sullivan a inventat un frumos dicționar între hărțile raționale și grupările Kleinian. O hartă rațională este o hartă a sferei Riemann către sine dată de coeficientul a două polinoame; de exemplu x 2 + c, unde polinomul din numitor este 1. Lucrul interesant de studiat este repetarea acestor hărți. Când aveți un colector hiperbolic compact 3, capacul său universal se dovedește a fi o minge solidă (deschisă) cu 3 bile. Cotația balonului 3 prin acțiunea grupului fundamental al colecției originale este din nou varietatea. Mingea 3 poate fi compactată adăugând limita ei în R 3 , și anume sfera S 2 . Acțiunea de grup pe bara 3 se extinde până la limita S 2ca transformări Möbius (hărți ale formei (az + b) / (cz + d)). Acesta este numit grup Kleinian. Observați că am început să considerăm o varietate tridimensională și am ajuns cu un sistem dinamic pe sferă. Acesta este modul în care cele două subiecte sunt conectate. Există multe teoreme care fac această conexiune explicită. Am scris un articol din sondaj (“Clasificarea sistemelor dinamice conformale”) pentru conferința lui Yau, care a prezentat nu numai acest dicționar, ci un program de cercetare pentru a demonstra rezultatele bazate pe acesta. Înțelegerea și dezvoltarea acestui dicționar a reprezentat o mare motivație în activitatea mea. De exemplu, un decalaj mare în dicționar este inversarea procesului pe care l-am descris – dacă ne este dat un sistem dinamic pe sferă, nimeni nu știe cum să găsească un obiect tridimensional asociat acestuia. Există multe lucruri de făcut în acest domeniu interesant!

Î: Unde păstrezi medalia Fieldului tău? Îl păstrați acasă?

M (râde): Nu pot dezvălui informația!

Î: Care a fost situația când ați câștigat medalia Fields? Cum sa simțit?

M: Prima mea reacție a fost una de uimire totală; Am fost foarte agitat. De fapt, am crezut că nu am fost calificat în ceea ce privește vârsta. De asemenea, știam atât de mulți matematicieni mari aici, iar la Berkeley și în alte locuri, că nu puteam să cred că am fost selectat. De asemenea, în 1991, am câștigat premiul Salem, care este un premiu în Analiză; Am fost încântat să fiu recunoscut în acest fel pentru că iubesc într-adevăr domeniul – a fost prima mea, ca matematician. De fapt, mi-am scris teza mea minoră ca student absolvent pe numerele Salem, iar acest premiu este în onoarea lui Raphael Salem, așa că are o semnificație personală pentru mine. Nu m-am așteptat niciodată să obțin o recunoaștere de acest fel, așa că am simțit cu siguranță că mi-am făcut deja partea mea de recunoaștere. (Am fost la fel de surprins că am primit o ofertă de la Harvard, dar din nou, nu știam ce să spun.

Acest lucru aduce în minte este o zicală a lui Lipman Bers, care a fost unul dintre mentorii mei; el a spus: “Matematica este ceva pe care îl facem pentru admirația înșelătoare a câtorva prieteni apropiați”. Cred că este o descriere bună a matematicii; nu vă așteptați mai mult decât atât, deoarece satisfacția matematicii este într-adevăr un lucru personal. Deci, mă simt foarte norocos că am fost selectat pentru recunoaștere de către comisia de medalii Fields.

Unul dintre lucrurile minunate despre matematică este că comunitatea este destul de mică. Când am mers la Berlin pentru a primi acest premiu, mulți oameni pe care-i știam bine de-a lungul anilor au fost prezenți – o minunată comunitate internațională de prieteni de-al meu. A fost într-adevăr un lucru frumos.

Î: Cum ai putut să-ți controlezi entuziasmul?

M: Ei bine, ce sa întâmplat a fost, am fost atât de agitat încât am uitat repede de ea, pentru că nu am putut să cred cu adevărat. Și apoi, din când în când, mi-aș aminti. Și aș crede că nu poate fi adevărat (râde) și, bineînțeles, nu am cum să verific, deoarece trebuia să fie un secret.

Î: Mai este ceva ce vreți să împărtășiți cu noi despre medalie?

De fapt, am o poveste despre când m-am întors din Berlin. Gardianul din aeroportul care conducea detectorul de metale ma oprit când rucsacul meu a trecut prin mașină. Ea a spus: “Scuzați-mă, ce aveți în rucsacul dvs. aici?” Am spus: “Este o medalie de aur”. Ea a spus, puțin dubios: Așa că am scos-o din pachetul meu. Un pic chagrined, a spus: “Oh, foarte frumos, este a ta?” Am spus “Mmmmm!”