Modele pentru Filmul de Lacrimă Umană

Sursă Originală: http://www.math.udel.edu/~braun/eyes.html

Filmul de Lacrimă Grupul

Acesta a fost grupul din vara anului 2016. 
L la r, spate: Rich, Spencer, Kevin. 
L la r, primul rând: Chris, Jerome, Amy, Mike. 
Nu au fost prezentate: Toby Driscoll, Christiaan Ketelaar, Javed Siddique, Tony Mastroberardino.

U de membri Delaware

Richard Braun, Facultatea

Tobin Driscoll, Facultatea

Michael Stapf, student absolvent pentru programul de vară 2012 Unidel și actualul doctorand.

Lan Zhong, student în AY 2014-15, până în prezent.Kevin Aiton, student absolvent începând din vara anului 2016.

Rayanne Luke, student în vara anului 2017.

Colaboratori

Carolyn Begley, Universitatea din IndianaP. Ewen King-Smith, Universitatea de Stat din OhioWilliam Henshaw, Institutul Politehnic RensselaerKara Maki, Institutul de Tehnologie din RochesterJaved Siddique, Universitatea de Stat din Pennsylvania, YorkTony Mastroberardino, Universitatea de Stat din Pennsylvania din ErieRanganathan Usha, IIT Madras, India (vizitat în 07-08 la UD)Christiaan Ketelaar, Universitatea Francisco Marroquin, GuatemalaGeoffrey McFadden, NISTDaniel Anderson, Universitatea George Mason

Progresele recente

Intro videoclipuri

Inspirat de teza de doctorat ARVO din trei, în 2015, studenții noștri au realizat videoclipuri scurte despre proiectele lor pentru non-experți.

Nou! Jurnalul de Modelare în Oftalmologie !

O nouă revistă dedicată intersecției oftalmologiei și modelării matematice a publicat prima emisiune ! Editorii fondatori sunt doctorii. Alon Harris (Oftalmologie) și Giovanna Guidoboni (Matematică), ambele din IUPUI; Dr. Braun se află în redacție.

Blue Rocks Game 2015

Prezentând cu Rocky Bluewinkle, mascota Blue Rocks. 

Mai multe articole despre filmul lacrimal

Pe lângă Progresele din hârtie pentru retină și ochi (vezi mai jos), în acest an au apărut mai multe lucrări.

  • “Dinamica stratului de film cu evaporare, osmolaritate și transport de surfactanți”, J. Siddique și RJ Braun, Appl. Math. Modeling, 39: 255-269, 2015; doi .
  • Efectele creșterii stimulării suprafeței oculare la secreția clipeală și lacrimă “, Ziwei Wu, CG Begley, N. Port, A. Bradley, RJ Braun și PE King-Smith, Invest., Ophthalmol.Vis Sci, 56: 4211-4220, 2015; doi .
  • Filmul lacrimal și osmolaritatea Dynamics Computerizata pe un domeniu în formă de ochi,“Longfei Li, RJ Braun, TA Driscoll, WD Henshaw, JW Banks și PE King-Smith, Math Med Biol, 2015;… Doi .

Colaborări în curs

Grupul nostru a colaborat cu grupul lui Carolyn Begley de la Scoala de Optometrie a Universității din Indiana. Ei folosesc mai multe metode pentru a imagina filmul lacrimal și sunt dispuși să împărtășească date minunate și cu noi. Articolul de revizuire de mai jos este cel mai mare efort comun până în prezent. Această colaborare este finanțată de grantul Carolyn NIH de la National Eye Institute.

Articol de revizuire pe filmul lacrimal – orientat pe suprafața oculară

Un articol de revizuire despre filmele lacrimogene, care include multe rezultate noi, a apărut în Progres în retiniana și cercetarea oculară, un jurnal numai pentru invitații, la începutul anului 2015. “Dinamica și funcția filmului lacrimal în raport cu ciclul clipirii” este disponibilă online la la sediul revistei . 

Unele articole despre ruperea lacrimilor și despre imagistică

  • “Dinamica filmului de lacrimă cu evaporare, umezire și condiție limită de flux dependentă de timp pe un domeniu în formă de ochi”, Longfei Li, RJ Braun, KL Maki, WD Henshaw, PE King-Smith, Physics of Fluids 26, 052101 (2014) ; doi
  • “Un model pentru reducerea stratului de film de lacrimă cu osmolaritate și fluoresceină”, ​​RJ Braun, NR Gewecke, CG Begley, PE King-Smith și JI Siddique, Invest. Ophthalmoli. Vis. Sci. 55, 1133-1142, 201; doi
  • “Instabilitatea condusă de evaporare a filmului lacrimal precorneal”, CC Peng, C Cerretani, RJ Braun și CJ Radke, Advances in Colloid and Interface Science 206, 250-264, 2014; doi
  • “Decuplarea și structura filmului de lacrimă studiată prin înregistrarea video simultană a imaginilor cu straturi de lipide cu fluorescență și de film de lacrimă”, PE King-Smith, KS Reuter, RJ Braun, JJ Nichols și KK Nichols, Invest. Ophthalmoli. Vis. Sci. 54, 4900-09, 2013; doi
  • “Imaginile din filmul de lacrimă și ruptura analizate folosind oprirea fluorescentă”, PE King-Smith, P. Ramamoorthy, RJ Braun și JJ Nichols, Invest. Ophthalmoli. Vis. Sci. 54, 6003-11, 2013; doi

Unele articole despre clipire și răcire

Următoarele articole care implică clipește au apărut recent.

  • “Transformarea căldurii și dinamica filmului lacrimal peste cicluri multiple de clipi”, Quan Deng, RJ Braun și TA Driscoll, Phys. Fluide 26, 071901 (2014); doi
  • “Un model pentru filmul lacrimal și temperatura suprafeței oculare pentru clipiri parțiale”, Quan Deng, RJ Braun, TA Driscoll și PE King-Smith, Fenomena interfacială și transferul de căldură 1, 357-381, 2013; doi
  • “Un model pentru filmul lacrimal uman cu încălzire din interiorul ochiului”, Longfei Li și RJ Braun, Phys. Fluide 24, 062103 (2012); doi

Progresele obținute din al doilea grant FSN

Articol de revizuire despre filmul de lacrimi – orientat spre mecanica fluidelor

Un articol de revizuire despre filmele lacrimogene în revizuirea anuală a mecanicii fluidelor a apărut în presă în ianuarie 2012. “Dinamica filmului de lacrimi” este disponibilă online în volumul 44 al revistei.

O discuție recentă despre munca noastră

La un atelier BIRS din decembrie 2012, această discuție a rezumat câteva dintre lucrările noastre recente.

Elemente de modele termice pentru filmul de lacrimă

Longfei Li a publicat o lucrare privind modelarea matematică a filmului lacrimal care captează răcirea observată a suprafeței oculare în timpul perioadei interblink. El a folosit modele cu un strat gros, subțire sau fără substrat. Substratul gros este necesar pentru răcirea suprafeței oculare. Longfei a reușit să identifice proprietățile termice optime pentru a se potrivi cu răcirea observată în ochi. Lucrarea de pe acest subiect a apărut în “Fizica fluidelor” (model pentru filmul lacrimal uman cu încălzire din interiorul ochiului, Physical Fluids 24, 062103 (2012); http://dx.doi.org/10.1063/1.4723870)

Prelucrarea imaginilor cu microscop lipidic

Kaijing Wang (Math major, NSF REU sprijinit) și Christian Paul (Civil engrg major) au lucrat cu Dr. Braun și Driscoll pentru a automatiza clasificarea imaginilor de la microscopul lipidic la Colegiul de Optometrie al Universității de Stat din Ohio. Trei optometristi (doctorii King-Smith, Nichols și Nichols) și colegii lor au făcut mii de imagini ale stratului lipidic pe partea din față a ochiului. Kaijing și Christian au lucrat la utilizarea unor metode de grupare pe un set relativ mic de imagini folosite într-o lucrare trimisă de grupul de stat Ohio. Rezultatele sunt foarte încurajatoare și vor continua lucrările la proiect. Acest proiect a fost sprijinit în parte de un supliment REU la grantul nostru actual (1022706) și de grantul HHMI aici la UD.

Modele pentru filmul Tear și interacțiunea suprafeței oculare

Jen Bruhns (QBio major, HHMI susținut) și Doug Freeman (Math major, NSF REU susținut) au colaborat cu Dr. Braun pe modelele de conectare a filmului lacrimal și a suprafeței oculare prin osmoză în cornee. Modelul a conectat filmul lacrimal cu epiteliul cornean care a fost inițial dezvoltat pentru ochi de șoarece. Munca este în desfășurare după un început bun în timpul verii. Acest proiect a fost susținut în parte de un supliment REU la grantul nostru actual (1022706).


Progresele obținute în urma primului grant FSN

Cicluri multiple de clipiri și filmul de lacrimi

Utilizăm teoria lubrifianților pentru a dezvolta ecuații diferențiale parțiale neliniare care guvernează suprafața liberă a filmului lacrimal uman în timpul întregului ciclu de clipiri. În cel mai simplu caz, se presupune că suprafața filmului este lipsită de stres (SF), ca și cum lichidul lacrimal ar fi apă pură; o altă limită de simplificare este cea a unui surfactant insolubil foarte puternic, în care proba de film se întinde uniform (limita uniformă de întindere, sau USL). În ambele limite, un singur pde reglează forma suprafeței libere; am extins lucrarea lui Jones et al (Math Med Bio, 2005) prin adăugarea de efecte suplimentare și de calcul pentru întreg ciclul clipirii.Am calculat mai multe cicluri de clipire pentru aceste cazuri limitative prin simplificarea mișcării sinusoidale a capacului mobil. În acest caz, a fost utilizată o metodă MOL bazată pe diferențe finite uniforme în spațiu și metode BDF pentru ODE rezultate (prin DASPK). Deși acest lucru pare a fi o simplificare radicală, acesta are în continuare o serie de lucruri corecte. De exemplu, există o tranziție între evoluția filmului lacrimal periodic și neperiodic pentru clipiri incomplete; că, filmul lacrimal se comportă ca și cum ar fi o clipită complet, chiar dacă capacele nu se vor închide complet. De asemenea, după o jumătate de clipi, există o vale în fluidul lacrimal, care corespunde unde era capacul; avem măsurători cantitative ale grosimii peliculei din modelele de interferență in vivo pentru a le utiliza pentru comparație. Mișcarea sinusoidală a capului calculează existența acestei vale. Această lucrare a apărut în JFM (Braun și King-Smith, JFM 586 (2007) 465-490).Am rezolvat pdes folosind o metodă spectrală modificată și cu o mișcare realistă a capacului de la clipiri. Metoda MOL martorează punctele Chebyshev în spațiu pentru a minimiza eroarea de rotunjire a derivatelor superioare și utilizează valorile exacte ale fluxului din condițiile de graniță atunci când evaluează ODE la punctele de rețea; ODE sunt rezolvate folosind ode15s în Matlab și codul a fost dezvoltat de Alfa Heryudono. Aproximarea conservă volumul foarte bine, de regulă sub 0,0001 sau o eroare relativă mai bună în mai multe cicluri de clipiri; aceasta este o îmbunătățire semnificativă față de metoda anterioară bazată pe grila diferențială finită uniformă. Folosind o mișcare realistă a capacului, ajungem la un acord mai bun cu măsurătorile de grosime a filmului in vivo de la jumătate de clipire și rezultatele modificate pentru trecerea de la soluții periodice la neperiodice pentru film.Această lucrare este acceptată pentru publicare în “Modele unice de ecuație pentru filmul de lacrimi într-un ciclu de clipiri: Realistic Motion Motion”, Medicina matematică și biologie (Heryudono, Braun, Driscoll, Maki, Cook și King-Smith, Math Med Biol 24, (2007) 347-377). Prezentarea prezentată de Alfa la reuniunea DFD din 2007 a fostdisponibilă .Heryudono și Driscoll au dezvoltat metode bazale radiale pentru aceste tipuri de probleme. Au publicat rezultate pentru o metodă adaptivă rbf pentru problemele care sunt a doua ordine în spațiu, care a fost publicat (Driscoll și Heryudono, “Metode adaptive de subsampling reziduală pentru interpolarea funcțiilor de bază radială și probleme de colocare”, Comp. Appl. ) 927). De asemenea, au publicat algoritmii rbf pe www.matlabcentral.com .

Overset Grids în 1D și 2D

Reflex de rupere în 1DA fost dezvoltată o metodă de rețea excesivă, pentru o problemă de film lacrimogen care încorporează deschiderea și relaxarea în timp ce este deschisă, precum și alte efecte fiziologice, de Kara Maki. Efectele includ condiții îmbunătățite de limitare a fluxului pentru aprovizionarea la rupere și rupere reflexă, gravitație și evaporare. Kara a dat această discuție la întâlnirea APS DFD din 2007 (și discuția folosește acest film de 37 MB .) Acest manscript a apărut în “O metodă grilă supraviețuită pentru studiul reflexului lacrimogen ” în medicina matematică și biologie (KL Maki, RJ Braun, TA Driscoll și PE King-Smith, Math Med Biol 25, (2008) 187-214).

Începeți dinamica filmului în 2D

Kara a dezvoltat, de asemenea, modele 2D ale filmului lacrimal post-blink folosind cadrul Overture; Bill Henshaw (LLNL) ajută considerabil acest efort. În primul caz, am folosit ecuații de lubrifiere pentru filmul lacrimal și condițiile de graniță care specifică grosimea filmului și presiunea la limită. Această lucrare a apărut elctronic în medicina matematică și biologie (doi: 10.1093 / imammb / dqp023).

De asemenea, am implementat condiții de limitare a fluxului; unele lucrări preliminare au fost prezentate în cadrul acestei discuții în cadrul reuniunii DPA a APS din 2008 și în alte părți. (Aceste trei filme au fost folosite pentru această discuție: diferența de grosime (27MB) , diferența de grosime (50MB) și diferența de grosime (28MB).) Imaginea din stânga de mai sus este vectorii de direcție a fluxului suprapusă peste magnitudinea fluxului; mai întunecat indică un flux mai lent. Lacul de lacrimă este furnizat din locația temporală superioară a glandei lacrimale și este extras în locurile punctului care sunt în apropierea cantului nazal (colț) la capătul stâng al domeniului. Condițiile fluxului sunt independente de timp, care este un model inițial. (Într-o clipită reală, alimentarea și scurgerea fluidului lacrimal sunt dependente de timp și sunt strâns legate de mișcarea capacului.) Cea mai mare parte a fluxului se află în jurul marginilor capacului.

Imaginea din dreapta este distribuția grosimii în momentul 10 când gravitația este inclusă în simulare. Maroon indică o valoare mai mare sau egală cu 3 microni; albastrul închis este grosimea minimă. Zona descendentă de maronie indică o umflare a meniscului în afară din marginea capacului. Pentru condițiile de limită a fluxului pe care le-am utilizat, lichidul din meniscul superior poate rupe linia neagră dacă este permis un timp suficient între clipiri. Această lucrare cu fluxurile BC specificate este acceptată pentru publicare în Jurnalul de Mecanică a Fluidelor și va apărea în martie 2010.

Umezirea și evaporarea pe cornee în 1D

Dan Anderson și Kat Winter (apoi un CSUMS degradat la George Mason) au lucrat cu Dr. Braun pe un model al filmului lacrimal, care are o cornee umedă și evaporare din filmul lacrimal. Modelul a fost comparat cu unele observații in vivo efectuate de King-Smith la statul Ohio și alegerea a doi parametri pentru a se potrivi grosimii filmului “uscat” și viteza de deschidere a regiunii subțiri părea să ofere un acord rezonabil între această teorie de bază și experiment . Această lucrare a apărut electronic în Medicina Matematică și Biologie (doi: 10.1093 / imammb / dqp019). O discuție care include unele dintre aceste rezultate este prezentată în următoarea secțiune. Discuția include, de asemenea, câteva extensii de la Pete Ucciferro, un student REU în vara anului 09 și un student independent de studii în toamna 09; munca a fost făcută ca parte a unei echipe GEMS care a inclus studentul absolvent Jiahua Tang,

Efectul formei corneei

Efectul formei corneei a fost studiat de R Usha de la IIT Madras, Jeff McFadden de la NIST, de Ewen King-Smith de OSU, precum și de Pam, Toby și cu mine. Substratul este aproape întotdeauna presupus a fi plat, iar teza lui Berger din 1973 privind filmul lacrimal nu justifică în mod explicit presupunerea. Rezultatul este că nu credem că substratul are un efect important asupra dinamicii filmului lacrimal. Totuși, pe parcurs, am încercat un model Ellis pentru fluidul lacrimal și a dat câteva rezultate interesante pentru formarea șocului pe substratul sferoidal prolate. Am vorbit care a inclus aceste rezultate, precum și concurența unei presiuni, evaporări și gravitații conjugate la U din Minnesota în departamentul de Inginerie Chimică și Știința Materialelor. O lucrare despre această lucrare va apărea în Jurnalul de Inginerie Matematică.

Capturarea mișcării pleoapelor

Doamna Xiaolin Yang, student în cadrul Departamentului de Informatică și Informatică, care a lucrat cu Dr. Braun la capturarea mișcării capacului în timpul unei clipări automate de la clipuri digitale de mare viteză cu clipiri. Filmele au fost realizate în Laboratorul MEC din cadrul Departamentului de Științe Matematice al UD, cu ajutorul dr. John Pelesko. Ea a elaborat un cod care ar putea extrage polinomul cu cele mai mici pătrate din filmele cu intermitență care utilizează detecția marginilor Sobel cu unele pre- și post-procesare. Această aproximare matematică pe care a generat-o dintr-o clipită a fost deja încorporată în eforturile noastre de a calcula evoluția filmului lacrimal în două dimensiuni. A lucrat cu Braun în vara anului 2006 și în ianuarie 2007. Codul a fost dezvoltat în Matlab, iar codul cu unele rezultate va apărea pe acest site în viitorul apropiat.

Dl. Peter Ucciferro (un cercetător în domeniul biotehnologiei cantitative) și Paul Parsons (un cercetător în domeniul fizicii) au fost sprijiniți de un supliment REU pentru această finanțare NSF pentru vara anului 2007. Ei au lucrat la evaluarea și extinderea algoritmilor lui Xiaolin pentru captarea și reprezentarea matematică a pleoapelor mișcare în timpul unei clipiri. Ucciferro și Parsons au înregistrat câteva observații de clipire și au extins software-ul pentru acest aspect al proiectului. Un aspect al muncii lor era să utilizeze robinetul pentru a bloca regiunile din jurul ochiului, astfel încât să poată fi utilizate mai multe filme clipitoare. Ei și-au prezentat rezultatele într-o prezentare excelentă în cadrul simpozionului departamental privind cercetarea de vară în august 2007.


Publicitate

Din sala de presă virtuală APS DFD 2008, LiveScience a făcut un articol despre munca noastră prezentată în cadrul întâlnirii. Un articol aparent asemănător a apărut în SoftPediala aproape același timp.Lucrarea noastră a fost menționată într-un scurt rezumat al celor mai importante momente din cadrul reuniunii din 2007 a filmului Tear Film și Societatea Oculară de suprafață.

Oportunități

Multe aspecte ale acestui proiect rămân deschise investigației; intră în echipă! Dacă sunteți interesat, contactați Dr. Braun .


Alumni

postdoctoranziNick Gewecke, UD postdoc, 2011-14, aflat acum pe o pozitie de pozitie pe statul Dalton din Georgia.AbsolvențiAmy Janett, U de Delaware, MS în matematica aplicată în vara anului 2016. Amy începe la Mitre Corporation în toamna anului 2016.Longfei Li , dr. În Applied Math 2014. Longfei a acceptat părtășia postdoctorală Margaret A. Darrin la RPI cu Bill Henshaw.Quan Deng , Doctor în Applied Math 2013. Quan sa alăturat echipei Amazon într-o poziție de cercetare.Kara Maki , U de Delaware, doctor în Applied Math 2009. După un IMA Postdoc, Kara sa alăturat Școlii de Științe Matematice de la Rochester Institute of TechnologyAlfa Heryudono , U de Delaware, doctor în Applied Math 2008, acum la facultatea de la Departamentul de Matematică din U Mass Dartmouth.Ryan Evans, student la Universitatea Delaware, vara 2013 și AY 2013-14.Kevin Buckman, absolvent al Universității din Delaware 2013 (programul Unidel).Tianyu Qiu, student absolvent pentru programul de vară 2012 GEMS.Jiahua Tang, U de Delaware student absolvent 2010 (GEMS suport)Xiaolin Yang, studentul de vară de voluntari din Delaware 2007, MS în CSI la UD, apoi la Duquesne U.Studenții de licențăPete Ucciferro, student de vară 2007-2009 (sprijin NSF REU, de 3 ori), studiu independent de toamnă 2009; a mers la Colegiul de Medicină Osteopatică din PhiladelphiaPaul Parsons , student de vară 2007 (sprijin NSF REU)Stacey Watro , student de vară 2010 (sprijin NSF REU)Douglas Freeman, student de vară pentru anul 2011.Wai-Kit Ricky Shum , student de vară pentru anul 2011R. Christian Paul, student de vară pentru anul 2011.Kaijing Kevin Wang , student vara și toamna anului 2011 (sprijin NSF REU), în prezent la Ernst și Young.Jennifer Bruhns, profesor universitar HHMI (Vara 2011, 2012), Studiu independent 12S și Teza UG 12-13; începând cu New England College of Optometry în 2013. Jen a câștigat premiul de cercetare departamentală în primăvara anului 2013.Vikramjit Singh, Învățător de licență de vară 2012 și Teza UG 12-13.Dylan Chapp , Învățător de licență de vară 2012 și studiu independent 2012-13. BS în matematică 2014. Dylan a continuat cu o RA în departamentul CIS UD; a câștigat premiul de cercetare departamentală în primăvara anului 2014.Matthew Moye , studentul FSN REU vara 2013 și AY 2013-14. Matt a continuat studiul matematicii la NJIT.Justin Grier, student în anul 2013 NSF REU. Justin a participat la Colegiul de Optometrie Nova Southeastern în toamna anului 2015.Laura Cahill, student la Summer 2015 NSF REU. Laura a continuat să studieze în domeniul sănătății publice.Joe Brosch, student de primăvară, primăvară și vară 2013, până în 2016. Joe a câștigat două premii pentru prezentări de postere la Math Întâlniri comune, a câștigat premiul departamental de cercetare în primăvara anului 2016 și a început un loc de muncă la Arotech din Michigan în toamna anului 2016.Spencer Walker, student, vara 2015, 2016 (NSF REU).Jerome Troy, student în vara anului 2016 (UDMS).Chris Cornwell, student student, vara 2016 student NSF REU.


Grupuri de fotografii

Acesta a fost grupul din vara anului 2015. 
L la r, primul rând: Rich, Mike, Spencer, Amy. 
L la rândul din spate: Christiaan, Laura, Joe, Toby, Lan. 
Nu este ilustrat: Javed Siddique, Tony Mastroberardino.

Acesta a fost grupul din vara anului 2014. 
L la r: Rich, Mike, Joe, Longfei, Toby. 
Nu a fost ilustrat: Javed Siddique, Ryan Evans.

Acesta a fost grupul din vara anului 2013. 
Rândul din spate, l la r: Quan, Joe, Longfei, Dylan, Kevin, Ryan. 
Rândul principal, l la r: Toby, Nick, Rich, Matt, Justin. 
Nu este ilustrat: creștin. 
Am sărbătorit o vară productivă la prânz în acea zi.

Acesta a fost grupul din vara anului 2012. 
Înapoi rând, l la r: Nick, Jen, Vikram, Longfei, Quan și Tianyu. 
Rândul principal, l la r: Rich, Toby, Javed, Matt, Dylan și Michael. 
Am avut o revizuire la mijlocul verii în acea zi.


Acesta a fost grupul din vara anului 2011. 
Înapoi rând, l la r: Longfei, Jen, Ricky și Quan. 
Rândul principal, l la r: Javed, Rich, Toby, Doug și Kaijing. 
Nu este ilustrat: creștin. 
Am sărbătorit o vară productivă la prânz în acea zi.


Acesta a fost grupul în primăvara anului 2008. 
Înapoi rând, l la r: Toby, Rich și Pam. 
Rândul din față, l la r: Alfa, Kara și Usha. 
Alfa și-a susținut cu succes teza în acea zi.


A sustine

Acest material se bazează pe lucrările susținute de Fundația Națională pentru Științe în cadrul subvențiilor nr. 1412085, 1022706 și 0616483, precum și de către Insitutele Naționale de Sănătate (NEI) în cadrul subvenției nr. 1R01EY021794. Orice opinii, constatări și concluzii sau recomandări exprimate în acest material sunt cele ale autorului (autorilor) și nu reflectă neapărat punctele de vedere ale Fundației Naționale de Științe sau ale NIH.

Grupul este, de asemenea, recunoscător pentru sprijinul acordat de Institutul Medical Howard Hughes pentru studenți, precum și de la Universitatea din Delaware prin intermediul Biroului său de Cercetare și Învățare Experiențială, precum și al Departamentului de Științe Matematice.