O generalizare a Cauza Brațul Lemma

Sursă Originală: http://cs.smith.edu/~jorourke/Cauchy/Welcome.html

Joseph O’Rourke

Cercetarea susținută de Fundația Națională de Științe acordă CCR-9731804. Viziunile exprimate sunt cele ale autorilor și nu reflectă neapărat cele ale FSN.


Introducere

Cauza lemma a brațului spune că dacă n-2 unghiuri consecutive ale unui poligon convex sunt deschise, dar nu mai departe de pi, păstrându-se doar o lungime de margine fixă ​​și permițând ca marginea “lipsă” e să varieze în lungime, atunci e prelungește (sau păstrează originalul lungime).

Generalizarea acestei leme permite deschiderea unghiurilor dincolo de pi, la fel de reflexă, deoarece acestea erau inițial convexe. Concluzia rămâne aceeași: e nu se poate scurta.

Această teoremă poate fi derivată din dovada lui Chern 1 a unei teoreme a lui Axel Schur 2 , folosind geometria diferențială sau, independent, prin inducție [O’R00] .

Ilustrația teoremei

Teorema este ilustrată de un applet Java lansat făcând clic pe butonul din partea de jos a acestei pagini. Utilizatorul este prezentat cu o pânză pe care se introduce un lanț convex în sensul acelor de ceasornic :


Intervalele unghiului de întoarcere sunt afișate în verde, iar “cercul interzis” este desenat în albastru. Utilizatorul poate transforma apoi orice îmbinare a lanțului făcând clic dublu pe el și tragând următoarea legătură, care rotește sub-lanțul (roșu) dincolo de acea legătură ca unitate rigidă:


Teorema spune că nici o reconfigurare în limitele unghiului de viraj admis va permite ca mâna să intre în cercul interzis:


Un corolar afirmă că fiecare comună are un cerc interzis de corespondență, care poate fi vizualizat prin selectarea: Vizualizați toate cercurile concentrice

În sfârșit, accesibilitatea completă a unui lanț poate fi văzută făcând clic pe: Afișați capacitatea de accesare

Rețineți că cercul interzis se află în afara regiunii de accesibilitate.


Pentru mai multe detalii, consultați articolul [O’R00] . 

(Cel mai bine văzut pe un monitor cu o rezoluție mai mare de 800×600.)

Platformă Applet / OS / Note de browser

1   SS Chern. Curbele și suprafețele din spațiul euclidian. În SS Chern, editor, Geometria diferențială globală , volumul 27 al studiilor în matematică , paginile 99-139. Matematică. Amer., 1989 
2   A. Schur. Despre caracteristica Blackche Extreme a cercului sub curburi curbe constante. Math., Ann. , 83: 143-148, 1921