Ungar-Leech Șapte colorări ale torului

Sursă Originală: https://nstarr.people.amherst.edu/torus/index.html

de

Norton Starr


Cifrele de mai sus arată cele două laturi ale unui torus pe care este desenată o hartă de șapte țări, fiecare dintre care contactează toate celelalte șase. [Faceți clic pe o imagine pentru vizualizare mai mare.] Aceasta demonstrează că teorema lui Heawood, care afirmă că orice hartă a torusului poate fi colorată în mod corespunzător cu cel mult șapte culori, este cea mai bună posibilă. ( Se presupune restricții rezonabile, cum ar fi cerința ca fiecare țară să fie conectată (nu există porțiuni separate ca Alaska). Harta originală din șapte țări aranjate pentru a forța utilizarea a șapte culori, a fost elaborat de Percy J. Heawood. Imaginea sa simetrică prezentată aici a fost dezvoltată independent de Peter Ungar și John Leech. Am facut modelul expus din hidrocentrala in 1972. Diametrul exterior al acestuia este de 9 centimetri si consta din doua jumatati toroidale lipite impreuna. Fiecare jumătate a fost turnată într-o matriță de lemn pregătită pentru mine de către magazinul de mașini al Departamentului de Fizică.


Referințe și observații

Anatol Beck, Michael N. Bleicher și Donald W. Crowe arată cum se poate imagina construcția și colorarea unui astfel de torus în Excursii în matematică , Worth Pub., 1969. (A se vedea figurile de culoare de pe frontispiciu, îndreptate spre pagina de titlu , și imaginile monocrome (echivalente) de la pagina 67.) Această carte a fost actualizată și republicată ca excursii în matematică: The Millennium Edition (broșură de hârtie) de AK Peters, Ltd., 2000. (Vezi p. 64.)

sarah-marie belcastro și Carolyn Yackel au conceput și proiectat fabricarea unui torus care prezintă șapte țări, fiecare contactând celelalte șase. Lucrarea considerabilă implicată în această dezvoltare este descrisă în capitolul informativ “Torus cu șapte culori: interesant matematic și netrivial de construit” pentru cartea care apare din G4G7, Homage to a Puzzle Puzzler , Ed Pegg Jr., Alan H. Schoen, și Tom Rodgers, eds., AK Peters, august 2008. Realizarea lui croită a lui Yackel este ilustrată în capitolul lor. De asemenea, apare aici , în dreapta în imagine intitulată “Donut Math.”

Alte ilustrații bune, împreună cu o istorie, sunt date în ultimele trei pagini ale HSM Coxeter, Problema hărții cu patru culori, 1840-1890, Profesor de matematică 52(aprilie 1959), 283-289.

Un ghid pentru desenarea celor șapte regiuni pe un torus este prezentat la pagina 168 din Modelele matematice ( ediția a 2  a), H. Martyn Cundy și AP Rollett, Oxford University Press, 1961. (Cele mai multe dintre limitele mele au fost localizate prin rularea un șir tangent între perechi de puncte pe model, o metodă sugerată de Geoffrey A. Wilson, un student în cursul meu Geometrie și matematică finită, primăvara 1972.)

O imagine a torusului meu de tencuială apare pe coperta frontală a Explorărilor în topologie: Cartografie, suprafețe și noduri , David Gay, Elsevier, 2007. 

Susan Goldstine (Amherst College, 1993) afișează pe site – ul ei o varietate de șapte colorații de hărți pe tori neobișnuite, împreună cu un șablon și linii directoare pentru construcție. Vezi și p. 113 din capitolul ei Fortune ‘s Purse in Making Mathematics with Needlework , sarah-marie belcastro si Carolyn Yackel, eds., AK Peters, Ltd., 2008.

Prima construcție cunoscută a unei hărți a șapte regiuni pe un torus, fiecare contactând fiecare dintre celelalte șase, a fost dată de Percy J. Heawood, un pionier în studiul colorării hărților. A se vedea teorema lui Map-color, Journal Quarterly of Pure and Applied Mathematics 24 (1890), 332-338. O imagine mai accesibilă a acestei hărți apare pe p. 114 din teoria grafică 1736-1936 , NL Biggs, EK Lloyd și RJ Wilson, Oxford Univ. Pr., 1976.

Coxeter atribuie reprezentarea simetrică a șapte regiuni pe un torus afișat mai sus lui John Leech în 1953. Vezi John Leech, Șapte Regiuni Hărți pe Torus, The Mathematical Gazette , 39 , No. 328 (mai 1955) , 102-105.

Leech recunoaște (nota de subsol, p. 103) echivalența esențială a schemei sale cu cea din Petru Ungar, Diagramele reprezentând hărțile, Jurnalul Societății Matematice din Londra , 28 (1953), 336-342. La rândul său, Ungar recunoaște disecția similară a leech-ului similar încă nepublicată (nota de subsol, p. 342.)

img 3 - cealaltă parte, luată dintr-un unghi